Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó được gọi là cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Dưới đây là 5 cách chứng minh tam giác cân phổ biến.
Các Nội Dung Chính
5 cách chứng minh tam giác cân phổ biến
Có nhiều cách chứng minh một tam giác là tam giác cân. Dưới đây là một số cách phổ biến:
1. Chứng minh tam giác cân bằng cạnh
Hai cạnh bằng nhau
Nếu hai cạnh của tam giác bằng nhau, ví dụ AB = AC, thì tam giác ABC là tam giác cân với đỉnh B.
Hai cạnh đối xứng
Nếu hai cạnh của một tam giác đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm tam giác, thì tam giác đó là tam giác cân.
2. Chứng minh tam giác cân bằng góc
Nếu hai góc ở đỉnh của tam giác bằng nhau, ví dụ ∠B = ∠C, thì tam giác ABC là tam giác cân.
3. Chứng minh tam giác cân bằng đường cao:
Nếu đường cao đi qua đỉnh của tam giác chia cạnh đáy thành hai đoạn bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân.
4. Chứng minh tam giác cân bằng trung tuyến
Nếu một tam giác có trung tuyến đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác cân.
5. Chứng minh bằng đối xứng:
Nếu tam giác có một trục đối xứng đi qua trung điểm của một cạnh và đỉnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác cân.
Lưu ý rằng đây chỉ là một số cách phổ biến để chứng minh tam giác cân. Có thể tồn tại nhiều cách chứng minh khác nhau tùy thuộc vào các điều kiện và giả thiết của bài toán.
Định nghĩa tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó được gọi là cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.
Trong một tam giác cân thì trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác sẽ thẳng hàng với nhau. Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng với cạnh đáy. Để hiểu hơn về định nghĩa tam giác cân là gì, hãy cùng xem hình ảnh minh họa cụ thể dưới đây:
Tam giác cân
Xét tam giác ABC, có AB = AC suy ra tam giác ABC cân. BC là cạnh đáy; AB, AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A. Góc B và góc C là hai góc đáy, A là góc ở đỉnh.
Tam giác được coi là cân được phân thành ba loại khác nhau:
– Tam giác nhọn cân: Tam giác nhọn cân là tam giác có cả ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai trong số các góc của nó có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của tam giác nhọn cân là 50°, 50° và 80°.
– Tam giác vuông cân: Sau đây là một ví dụ về tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng của chúng) có số đo bằng nhau.
– Tam giác tù cân: Tam giác tù cân là tam giác có một trong ba góc tù (nằm trong khoảng từ 90° đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về góc tam giác tù cân là 30°, 30° và 120°.
Xem thêm: Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Đầy Đủ và Chính Xác Nhất
Bài tập áp dụng và cách chứng minh tam giác cân
Bài 1: Trong các tam giác ở các hình 15a, b, c, d, tam giác nào là tam giác cân, tam giác nào là tam giác đều ? Vì sao ?
Giải:
a) Ta có: AB = BM = AM (gt) => tam giác ABM đều.
AM = CM (gt) => tam giác MAC cân tại M.
b) Ta có: ED = DG = EG (gt) => tam giác EDG đều.
DH = DE => tam giác DEH cân tại D.
Ta có: EG = GF => tam giác GEF cân tại G.
Ta có: EH = EF => tam giác EHF cân tại E.
c) Ta có: IG = IH (gt) => tam giác IGH cân tại I. Mà góc GIH=60o (gt). Do đó tam giác IGH đều.
Ta có: EG = EH (gt) => tam giác EGH cân tại E.
d) Tam giác MBC có: góc M + góc B+góc C=180o
Do đó: 71o + góc B = 38o = 180o =>Góc B = 180o – 71o – 38o = 71o
Ta có: Góc B = góc M (=71o ) =>ΔCBM cân tại C
Bài 2. Cho tam giác ONM cân tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh OM, điểm E thuộc cạnh ON sao cho OD = OE
a) Hãy so sánh góc OND và OME
b) Gọi I là giao điểm của ND và ME. Chứng minh tam giác INM cân. Vì sao ?
Giải
a) Tam giác ONM cân tại O (giả thiết)
Nên: ON = OM và Góc ONM = Góc OMN
Xét ΔOND và ΔOME, ta có: ON = OM (giả thiết) Và góc O chung
OD = OE (giả thiết)
=>ΔOND = ΔOME (c.g.c)
=> Góc OND = Góc OME ( các cặp canh tương ứng)
b) ΔINM có:
Góc INM = góc ONM – góc OND = góc OMN – góc OME = góc IMN
Suy ra: Tam giác INM cân tại I
Bài 3. Cho hình 16, biết ED = EF; EI là tia phân giác của góc DEF.
Chứng minh rằng: a) ΔEID = ΔEIF; b) ΔDIFcân.
Giải:
a) Xét tam giác EID và EIF ta có:
+ ED = EF (gt)
+ Góc IED= Góc EIF (EI là tia phân giác của góc DEF)
+ EI là cạnh chung. => Do đó: ΔEID =ΔEIF(c.g.c)
b) ΔEID =ΔEIF (chứng minh câu a) => ID = IF. Do đó: tam giác DIF cân tại I.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.
Gợi ý đáp án:
Do tam giác ABC cân tại A nên: Góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)
Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB: Góc ABC = góc ACB, BC là cạnh chung
=> ΔBFC = ΔCEB (cạnh huyền – góc nhọn)
=> BE=CF (2 cạnh tương ứng).
Bài 5. Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.
Hãy giải thích các khẳng định sau:
a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;
b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;
Giải
a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông
=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau
=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.
b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:
x + x + 90 độ + 180 độ
=> 2x = 90 độ
=> x = 45 độ
Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.
Tính chất của tam giác cân
Mỗi hình trong hình học sẽ có những tính chất riêng biệt và độc đáo để có thể phân biệt nó với các hình khác. Đối với tam giác cân tính chất của nó bao gồm:
Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau Ví dụ: Nếu ΔABC cân tại A thì hai góc ở đáy góc ABC= góc ACB
Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc BAC
Khi đó ta có: Góc BAM = Góc CAM
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có: AB = AC (gt)
Góc BAM = Góc CAM (cmt)
AM chung
Suy ra ΔABM = ΔACM (c.g.c) => Góc ABC = Góc ACB (đpcm)
Tính chất 2. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân
Ví dụ: Xét tam giác ΔABC, nếu góc ABC= góc ACB thì ΔABC cân tại A.
Trong tam giác ABC, gọi AH là tia phân giác của góc BAC
=> Góc BAH = Góc CAH
ΔABH có góc BAH + góc AHB + góc ABH = 180 độ (tổng 3 góc trong một tam giác)
ΔACH có góc CAH + góc ACH + góc AHC = 180 độ (tổng 3 góc trong một tam giác)
Mà lại có góc ABC = góc ACB nên góc AHB = góc AHC
Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:
Góc BAH = góc CAH
Góc ABC = góc ACB
Góc AHB = góc AHC
Suy ra ΔABH = ΔACH (g.g.g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)
Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (theo định nghĩa)
Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.
Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.
Dấu hiệu nhận biết tam giác cân
Dựa vào các tính chất trên thì để nhận biết tam giác cân chúng ta dựa vào số đo chiều dài của các cạnh hoặc số đo các góc. Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:
– Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
– Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ: Trong tam giác MNP có ΔMNE = ΔMPE. Chứng minh tam giác MNP cân. –
Chứng minh theo dấu hiệu 1:
Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE Nên ⇒ MN = MP
=> Tam giác MNP cân tại M
– Chứng minh theo dấu hiệu 2:
Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE
Nên ⇒ Góc N = Góc P
=> Tam giác MNP cân tại M
Cách tính chu vi và diện tích tam giác cân
– Để có thể tính chu vi của tam giác cân, bạn cần phải biết chính xác đỉnh của tam giác và độ dài chính xác của 2 cạnh là được. Công thức sẽ là:
P = 2a + c
Trong đó:
+ a: hiểu được là 2 cạnh bên của tam giác
+ c: là cạnh đáy của tam giác.
– Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2. Công thức tính diện tích tam giác cân:
S = (a x h)/ 2
Trong đó:
+ a: Chiều dài đáy tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
+ h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).
