7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Lớp 8 – Công Thức và Bài Tập Áp Dụng

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức toán học cơ bản mà bất kể học sinh nào cũng biết. Ngoài việc phục vụ cho chương trình học tập, hằng đẳng thức còn giúp ta ứng dụng nhiều vào thực tế. Để tìm hiểu thêm về các hằng đẳng thức này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây của chúng tôi

Giới thiệu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ chắc không còn xa lạ gì với các bạn. Về 7 hằng đẳng thức quan trọng : bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ
7 hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức toán học quan trọng mà học sinh cần phải nắm vững. Các bạn nhỏ sẽ được tiếp xúc và giới thiệu khi bắt đầu vào chương trình học lớp 8. Khi học tới các lớp cao hơn thì các hằng đẳng thức này sẽ được áp dụng vào hầu hết tất cả các dạng toán nâng cao và theo suốt quá trình học tập.

Giống với tên gọi của nó, các hằng đẳng thức đáng nhớ này có vai trò rất quan trọng trong việc tiếp thu các kiến thức về toán học trong chương trình học tập ở các cấp học.

Công thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dưới đây sẽ giới thiệu cho các bạn về 7 hằng đẳng thức:

Bình phương của một tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Giải thích: Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

Giải thích: Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu hai bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

Giải thích: Hiệu của hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số đó nhân với tổng của hai số đó.

Lập phương của một tổng

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Giải thích: Lập phương của một tổng của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

Ứng dụng của hằng đẳng thức

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

Giải thích: Lập phương của một hiệu của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng hai lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

Giải thích: Tổng của hai lập phương của hai số sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

Hiệu hai lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

Hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng

Ngoài ra, người ta đã suy ra được các hằng đẳng thức mở rộng liên quan đến các hằng đẳng thức trên:

Hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng
Hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng

 

Đây là những hằng đẳng thức rất quan trọng chính vì vậy các em cần nhớ rõ trong đầu để mối khi làm bài tập về nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông.

Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức

Các dạng bài tập về 7 hằng đẳng thức

7 hằng đẳng thức có các dạng bài toán như sau:

  • Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.
  • Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc biến.
  • Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức.
  • Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
  • Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức.
  • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
  • Dạng 8: Tìm giá trị của x

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những hằng đẳng thức không còn xa lạ với các bạn nữa, Hôm nay THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ nói kỹ hơn về 7 hằng đẳng thức quan trọng là : bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương.

Một số bài tập áp dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

dang 6

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]

= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1.Tìm x biết

a) ( x – 3 )( x2+ 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
b) ( x + 1 )3– ( x – 1 )3– 6( x – 1 )2 = – 10.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b )( a2+ ab + b2) = a3 – b3.

( a – b )( a + b ) = a2 – b2.

Khi đó ta có ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.

⇔ x3 – 33 + x( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x( 4 – x2 ) = 0

⇔ x3 – x3 + 4x – 27 = 0

⇔ 4x – 27 = 0

Vậy x=27/4.

 

b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )3= a3– 3a2b + 3ab2 – b3

( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

Khi đó ta có: ( x + 1 )3 – ( x – 1 )3 – 6( x – 1 )2 = – 10.

⇔ ( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) – ( x3 – 3x2 + 3x – 1 ) – 6( x2 – 2x + 1 ) = – 10

⇔ 6x2 + 2 – 6x2 + 12x – 6 = – 10

⇔ 12x = – 6

Vậy x= -6/12

Bài 2: Rút gọn biểu thức A = (x + 2y ).(x – 2y) – (x – 2y)2

  1. 2x2+ 4xy     B. – 8y2+ 4xy
  2. – 8y2 D. – 6y2+ 2xy

Hướng dẫn

Ta có: A = (x + 2y ). (x – 2y) – (x – 2y)2

A = x2 – (2y)2 – [x2 – 2.x.2y +(2y)2 ]

A = x2 – 4y2 – x2 + 4xy – 4y22

A = -8y2 + 4xy

Cách để ghi nhớ Bảy hằng đẳng thức trên một cách hiệu quả

7 Hằng đẳng thức gây mệt mỏi, khó khăn, chán nản cho nhiều học sinh, đặc biệt những bạn tư duy chậm. Bên cạnh đó, nó cực kì quan trọng không chỉ riêng môn Toán mà còn môn tự nhiên khác như Lý, Hóa. Bảy hằng đẳng thức này là công cụ Toán học được áp dụng xuyên suốt quá trình từ lớp 8 đến lớp 12. Nó đòi hỏi học sinh phải học thuộc để vận vận dụng sáng tạo vào giải bài tập liên quan.

Học một cách khoa học:

Học sinh đừng nghĩ rằng 7 Hằng đẳng thức thật “khó nhớ”, hãy tạo cho bản thân mình tâm lý thoải mái nhất khi tiếp cận với từng đẳng thức.

Thực hiện nhóm các hằng đẳng thức theo tính chất giống nhau, khi nhớ một hằng đẳng thức dễ dàng suy luận ra các hằng đẳng thức còn lại. Bên cạnh đó, học sinh có thể học thuộc phát biểu bằng lời ở trên cũng là giải pháp hiệu quả.

Thường xuyên luyện tập:

Không chỉ các hằng đẳng thức, nếu muốn “không quên” một kiến thức nào, chúng ta phải thường xuyên vận dụng nó. Nên tìm hiểu bản chất của từng hằng đẳng thức mới có thể nhớ công thức lâu.

Việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cũng nên theo trình tự. Trước tiên học sinh nên vận dụng mỗi loại hằng đẳng thức để giải các bài tập nhỏ tương ứng. Đến khi đã nhuần nhuyễn, có thể vận dụng một lúc nhiều hằng đẳng thức để giải các dạng bài tập phức tạp.

Những tờ giấy Sticker nhiều màu sắc:

Những công thức Toán học vốn đã rất nhàm chán, vì vậy học sinh phải lựa chọn phương pháp sao cho sinh động, sáng tạo nhằm kích thích ý muốn học hỏi hơn.

Ở đây học sinh có thể ghi những hằng đẳng thức này vào các tờ giấy ghi nhớ (Sticker). Những tờ giấy đầy màu sắc sẽ thu hút sự chú ý của người học, việc gặp quá nhiều lần như vậy thì dù không muốn học sinh vẫn có thể ghi nhớ chúng.

Phương pháp giảng dạy của giáo viên

Thay vì chỉ cung cấp 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh tiếp cận một cách thụ động, giáo viên có thể giúp các em bằng cách chứng minh. Khi Hằng đẳng thức được chứng minh về sự tồn tại và tính đúng đắn của nó, học sinh dễ dàng chấp nhận.

xem thêm kiến thức trên kênh video của chúng tôi

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể để lại bình luận
5/5 - (21 votes)

Leave a Reply