Chúng tôi xin giới thiệu 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử toàn diện nhất. Các phương pháp này là kiến thức cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến trong chương trình toán 8 và cả các lớp sau này. Cùng với đó là bài tập sách phân tích đa thức thành nhân tử trong sách giáo khoa và nâng cao.
Các Nội Dung Chính
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong sách giáo khoa
- Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
– Trong đa thức có nhiều hạng tử, ta tìm xem chúng có nhân tử chung là gì.
– Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và nhân tử khác.
– Đặt nhân tử chung ra ngoài, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào chúng ta phải đưa được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ở phương pháp này, ta vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.
Ví dụ: Phân tích đa thức
Ở phương pháp này các bạn cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
– Ta xem trong đa thức đó, có những hạng tử nào có thể nhóm lại với nhau.
– Sau đó phân tích chúng thành các đơn thức, đa thức đơn giản hơn.
– Đặt thừa số chung, có thể sử dụng hằng đẳng thức để phân tích.
Ví dụ: Phân tích đa thức
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.
Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong sách giáo khoa
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
Phân tích đa thức sau
a) 3x – 6y;
b) ;
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d) ;
e) 10x(x – y) – 8y(y – x).
* Lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x – 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x – y) – 8y(y – x)
– Ta thấy: y – x = –(x – y) nên ta có:
10x(x – y) – 8y(y – x) =10x(x – y) – 8y[-(x – y)] =10x(x – y) + 8y(x – y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
Tính giá trị của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999.
* Lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
– Lưu ý: Với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x – 1) – y(1 – x)
– Ta thấy: 1 – x = -(x – 1) nên ta có:
x(x – 1) – y(1 – x) =x(x-1)-y[-(x-1)] =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
– Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* Lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) – x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
– Kết luận có 2 giá trị x thoả mãn là x = 2000 và x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
– Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
– Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n (55 – 1) = 55n.54
– Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.
Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* Lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 – 10x + 25)
= –[(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2] = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) – x3 + 9x2 – 27x + 27.
* Lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2]
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2]
= [(a + b) + (a – b)] . [(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)]
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 – 25x2 = 0
b)
* Lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a)
– Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là và
.
b)
– Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
Tính nhanh
a) 732 – 272 ; b) 372 – 132 ; c) 20022 – 22
* Lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* Lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
* Lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4 [ta thấy x2 + 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]
= (x2 + 4x + 4) – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]
= (x + 2)2 – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2) [ta thấy x2 + 2xy + y2 có dạng hằng đẳng thức]
= 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]
= 3[(x + y)2 – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 [ta thấy x2 – 2xy + y2 và z2 – 2zt + t2 có dạng hằng đẳng thức)
= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]
= (x – y)2 – (z – t)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]
= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]
= (x – y – z + t)(x – y + z –t)
Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:
Tìm x, biết:
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
* Lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
– Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0
– Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
* Lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1 [nhân tử chung là x]
= x(x2 – 2x + 1) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 [nhân tử chung là 2]
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) [ta thấy x2 + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức]
= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]
= 2[(x + 1)2 – y2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16 [ta thấy x2 ; y2 ; 2xy có liên hệ tới hằng đẳng thức]
= 16 – (x2 – 2xy + y2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]
= 42 – (x – y)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]
= [4 – (x – y)][4 + (x + y)]
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
* Lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
– Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
– Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
Phân tích các đa thức sau:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử – 3x = – x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
* Lời giải bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x2 – 3x + 2
= x2 – x – 2x + 2 [tách –3x = – x – 2x]
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1) [có x – 1 là nhân tử chung]
= (x – 1)(x – 2)
Hoặc: x2 – 3x + 2
= x2 – 3x – 4 + 6 [tách 2 = – 4 + 6]
= x2 – 4 – 3x + 6
= (x2 – 22) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) [xuất hiện nhân tử chung x – 2]
= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)
b) x2 + x – 6
= x2 + 3x – 2x – 6 [tách x = 3x – 2x]
= x(x + 3) – 2(x + 3) [có x + 3 là nhân tử chung]
= (x + 3)(x – 2)
c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2) [có x + 2 là nhân tử chung]
= (x + 2)(x + 3)
Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
– Học sinh tự luyện tập
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau
1) x2 – y2 – 2x + 2y
2) 2x + 2y – x2 – xy
3) x2 – 25 + y2 + 2xy
4) x2 – 2x – 4y2 – 4y
5) x2y – x3 – 9y + 9x
6) x2(x -1) + 16(1- x)
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau
1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)
2) x3 + x2y – 4x – 4y
3) 3(x+ 4) – x2 – 4x
4) x3 – 3x2 + 1 – 3x
5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y
6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2
7) x2 – xy + x – y
8) x2 – 2x – 15
Bài tập 3: Phân tích
1) 2x2 + 3x – 5
2) x2 + 4x – y2 + 4
3) 2x2 – 18
4) x3 – x2 – x + 1
5) x2 – 7xy + 10y2
6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1
7) x3 – 2x2 + x – xy2
8) ax – bx – a2 + 2ab – b2
Bài tập 4: Phân tích
1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1
3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1
5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1
7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4
9) x10 + x5 + 1
Bài tập 5: Phân tích
1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7) x4 – 13x2 + 36
8) x4 + 3x2 – 2x + 3
9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 6: Phân tích
1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9) x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 7: Phân tích
1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2
xem thêm kiến thức trên kênh video của chúng tôi
