Bất Đẳng Thức Cosi – Khái Niệm, Công Thức Và Bài Tập Áp Dụng

MeBi 30 January, 2021 Bé Học Toán 1 bình luận 1,330 Số lượt xem

Bất đẳng thức cosi (Hay bất đẳng thức Cauchy – Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học phổ thông. Ngay từ khi tiểu học, học sinh đã được làm quen với trung bình cộng, trung bình nhân. Càng học cao, bất đẳng thức còn được đưa vào sách toán với nhiều dạng khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu về khái niệm cũng như cách phân loại của nó qua bài viết dưới đây.

Bất đẳng thức Cosi là gì? Khái niệm về bất đẳng thức Cosi

Khái niệm

Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức côsi với 2 số thực a và b không âm

Với a=0, b=0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. còn với a,b lớn hơn 0, ta có thể chứng minh như sau:

Bất đẳng thức luôn đúng với những số không âm

Lịch sử

Trong toán học, người dùng tại Việt Nam rất quen thuộc với bất đẳng thức cosi, hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Nhưng trên thực tế, tên gọi chính xác của khái niệm này là bất đẳng thức AM-GM (Viết tắt của Arithmetic Means – Geometric Means). Người có cách chứng minh bất đẳng thức này hay nhất chính là Cauchy. Ông không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức mà chỉ là người đưa ra cách chứng minh quy nạp điển hình nhất.

Các dạng của bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức này được chia làm 2 loại. Đó là dạng có số cụ thể và dạng tổng quát. Cùng tìm hiểu nhé!

Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,… n ở đây là những con số được xác định.

Ví dụ cụ thể:

Bất đẳng thức dạng tổng quát

Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện là n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Bất đẳng thức có 2 dạng với nhiều cách giải khác nhau (Nguồn: Internet)

Các hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả của bất đẳng thức này rất quan trọng, được ứng dụng nhiều trong việc tìm các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. Sau đây là hai hệ quả quan trọng của bất đẳng thức này:

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Trên đây là những thông tin về khái niệm và cách phân loại bất đẳng thức cosi. Đây là dạng bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bất đẳng thức cũng như tìm các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Chính vì thế, việc nghiên cứu kỹ về loại bất đẳng thức này có ý nghĩa thiết thực đối với việc giảng dạy của các giáo viên bộ môn toán học.

Một số bài tập về bất đẳng thức Cosi

Bài 1: Bài toán thuận.

Chứng minh rằng với mọi $x>1$ ta có: $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo. Vì đã có số hạng $\dfrac{1}{x-1}$ nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của $x-1$ . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1$ (*)
Vì $x>1$ nên $x-1>0$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương $4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}$ , ta có:
$4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}$
Hay $4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4$ . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3$ .
Vậy $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}$ (do $x-1>0$ )
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.

Chứng minh rằng $(x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]$

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là $(\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab$ . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi $x\in [1; 5]$ thì $x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0$ . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
$(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)$
$\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x)$ . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3$ .

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. $4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}$ .
2. $1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2$
3. Với mọi góc $0^o < \alpha < 90^o$ , ta có: $\tan\alpha + \cot\alpha \geq 2$ .
4. $(3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3]$ .
5. $(2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2]$ .