Định Lý Viet Thuận – Định Lý Đảo – Và Bài Tập Áp Dụng

Định lý Viet  (định lí vi ét)là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Trong bài viết này nuoicondung.com sẽ tổng hợp toàn bộ kiến thức liên quan đến phần này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán và có bài tập tham khảo. Cùng khám phá nhé

Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.

Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

Định lý Viet thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Những Món Đồ Cực Kỳ Cần Thiết Cho Mẹ và Bé Yêu Đang MIỄN PHÍ Vận Chuyển và Giảm Tới 50%

Khăn Che Bé Bú Đa Năng

Mua Ngay

Yếm Ăn Dặm Chống Thấm

Mua Ngay

Đai Đi Xe Máy Cho Bé

Mua Ngay

Dép Tập Đi Chống Ngã

Mua Ngay

Hệ thức trên được gọi là hệ thức Viet hay (Hệ thức Vi ét) hoặc là công thức Viet hoặc định lý viet bậc 2

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

  • Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

Định lý Viet đảo hay hệ thức Vi ét đảo

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0  hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

 

Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

  • Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
  • Nếu S2-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

 

Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

 

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

  • Trường hợp 1:

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2

  • Trường hợp 2:

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.

 

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

  • Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
  • Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

 

Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

  • Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
  • Một số biểu diễn quen thuộc:

dinh-ly-Viet-01

  • Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

 

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Hãy chứng minh:

Hướng dẫn:

dinh-ly-Viet-02

 

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

Lại có:

dinh-ly-Viet-03

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

Ta có: S=S7.

Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.

Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

  1. Có đúng 1 nghiệm âm.
  2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

dinh-ly-Viet-04

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

dinh-ly-Viet-05

Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

tồn tại  nghiệm x1, x2  phân biệt sao cho:

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

  (2)

Mặt khác, theo đề:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài tập

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình 

Bài tập định lý viet số 1

Có một nghiệm x = – 5 . Tìm nghiệm kia.

Bài tập 2 :  Cho phương trình 

Bài tập định lý viet số 2

Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.

Bài tập 3 :  Cho phương trình 

Bài tập định lý viet số 3
Bài tập định lý viet số 3

Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia?  Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này.

Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – (2k – 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). 

             Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.

Bài tập 5:
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.

  1. a) Giải phương trình với m = 1.
    b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2.
    c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 – x1 – x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 6:

     Cho phương trình ( ẩn x) : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0

Giải phương trình  với m =

2)   Tìm  m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 7:     Cho phương trình ( ẩn x) : x2 – 2mx + m2 = 0          (1)

1)   Tìm  m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2)   Tìm  m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

 Bài tập 8:     Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 . 

  1. a)  Chứng  minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu . 
  2. b) Gọi là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trị biểu thức :   

Bài tập 9:   Cho phương trình với ẩn số thực x:

                                 x2 – 2(m – 2 ) x + m  – 2 =0.    (1)

   Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Bài tập 10:Cho phương trình : x2 – 2(m-1) x +2m  – 3 =0.

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

Bài tập 11:       Cho phương trình :    

                    mx2 -5x – ( m + 5) = 0   (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.

Giải phương trình khi m = 5.

Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   , hãy tính theo m giá trị của biểu thức B = . Tìm m để B = 0.

Bài tập 12:  Cho phương trình : (m + 1 ) x2 – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.

Giải phương trình với m = 1.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.

 Bài tập 13 : Giải các phương trình  sau 

3x4 – 5x2  +2 = 0 

x6 -7x2 +6 = 0 

(x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = 0 

(x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24

3x2+ 3x = +1

 

Bài tập 14 . Cho hai phương trình : x2– mx +3 = 0 và  x2– x +m+2= 0 .

Tìm m để phương trình có nghiệm chung.  

Tìm m để hai phương trình tương đương.

Bài tập 15. Cho phương trình (a-3)x2– 2(a-1)x +a-5 = 0  .

tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Tìm a sao cho +<3  .

Tìm một hệ thức độc lập giữa x1, x2.

Bài tập 16: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – 1 = 0 (1) 

C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu 

Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1

Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 5

Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m + 3 .

Bài tập 17: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a = 0 

Tìm các GT của a sao cho tổng lập phương các nghiệm bằng 9

Với GT nào của a  thì tổng các bình phương các nghiệm có GTNN 

Bài 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Không giải PT lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 

Đều là số đối các nghiệm của PT (1) 

Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2

Bài tập 18. Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – 2 = 0 

Giải PT khi m = 2

C/mr  phgương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m 

Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x1 ; x2 .Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn 

       đạt GTLN 

Bài tập 19: Cho Phương trình :  x2 – mx – m – 1 = 0 (*) 

C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m tương ướng .

Đặt A = x12 + x22 – 6x1.x2 

Chứng minh A = m -8m + 8

Tìm m sao cho A= 8

Tìm GTNN của a và GT m tương ứng .

Bài tập 20: Các nghiệm của phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên 

  Chứng minh rằng a2 + b2 là hợp số 

Bài tập 21: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:

      x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0  vô nghiệm 

Trên đây là tổng hợp của chúng tôi về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của chúng tôi để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

5/5 - (6 votes)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *