Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây!
Các Nội Dung Chính
Lý thuyết giới hạn của dãy số
Dãy số có giới hạn 0
Định nghĩa 1:
Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi.
Định nghĩa 2:
Dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu:
Tính chất:
Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số có giới hạn +∞
Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó.
Ký hiệu: lim un = + ∞.
Dãy số có giới hạn – ∞
Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó.
Ký hiệu: lim un = – ∞.
Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Quy tắc nhân
- Quy tắc chia
Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa:
-
khi và chỉ khi 
có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. 
Các định lý:
- Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:
- lim (un + vn) = a + b.
- lim (un – vn) = a – b.
- lim (un.vn) = ab.
- Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a > 0 và
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q| < 1. Ta có công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn như sau:
Giải bài tập giới hạn của dãy số SGK
Bài 2: (Trang 112 SGK Đại số 11) Biết dãy số (un) thỏa mãn 
với mọi n. Hãy chứng minh rằng: lim un = 1.
Bài giải:
Đặt vn = un – 1.
Lấy số dương d > 0 bé tùy ý
⇒ Luôn tồn tại 
thỏa mãn 
⇒ 
với mọi n ≥ n.
⇒ Vậy theo định nghĩa, ta có:
Bài 3: (Trang 121 SGK Đại số 11) Tìm các giới hạn:
Bài giải:
Bài 5: (Trang 122 SGK Đại số 11) Tính tổng
Bài giải:
Bài 6: (Trang 122): Cho a = 1,020202…(chu kì là 02) là số thập phân tuần hoàn. Các em hãy viết a dưới dạng một phân số:
Lời giải:
Bài 7 (Trang 122) Tính các giới hạn sau:
Bài giải:
Bài 8: (Trang 122): Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:
Bài giải:
Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lý về giới hạn của dãy số
Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại
Phương pháp giải: Sử dụng định lý
- Dãy số (un ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
- Dãy số (vn ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Trên đây là những chia sẻ về giới hạn của dãy số kèm những dạng bài tập, ví dụ có lời giải cho từng trường hơp. Hi vọng qua những chia sẻ này, bạn sẽ dễ dàng giải được các bài tập về giới hạn dãy số.
