Lý Thuyết Hàm Số Bậc Nhất và Các Dạng Bài Tập Quan Trọng Nhất

Hàm số là một trong những lý thuyết quan trọng trong chương trình toán đại số. Có nhiều dạng bài tập xoay quanh chủ đề này liên quan đến các loại hàm số khác nhau. Hàm số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất, khởi nguồn cho các kiến thức hàm số nâng cao hơn mà các em sẽ được học trong chương trình toán trung học. Bài viết này, Chúng tôi sẽ giúp  các em có thể nắm vững các kiến thức cũng như phương pháp giải bài tập nội dung một cách đầy đủ nhất, chuẩn bị cho những kì thi sắp tới.

Hàm số bậc nhất

Khái niệm 

Đinh nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng: y = ax + b với a,b là các số cho trước và a ≠ 0

Khi b = 0 hàm số sẽ có dạng y = ax

Lý Thuyết Hàm Số Bậc Nhất và Các Dạng Bài Tập Quan Trọng Nhất
Lý Thuyết Hàm Số Bậc Nhất và Các Dạng Bài Tập Quan Trọng Nhất

Tính chất hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R, có tính chất như sau:

  • Hàm số đồng biến trên R nếu a > 0
  • Hàm số nghịch biến trên R nếu a < 0

Đồ thị hàm số bậc nhất

Khái niệm

Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng, cắt trục tung tại điểm có tọa độ ( 0 ; b ), trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0 và song song với y = ax nếu b ≠ 0.

Khi đó: a được gọi là hệ số góc, b là tung độ góc của đường thẳng y = ax + b

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

  • Xét trường hợp y = ax + b với a ≠ 0, b ≠0

Như đã biết, đồ thị hàm số này là một đường thẳng, do vậy để vẽ được đồ thị này, về cơ bản ta chỉ cần xác định được 2 điểm thuộc đường thẳng y = ax + b là đã có thể vẽ được đồ thị.

  • Trường hợp hàm số y = ax + b với b = 0

Khi b=0 thì y=a.x. Đồ thị của hàm số y= ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).

Xác định 2 điểm bất kì thuộc đường thẳng y = ax + b

Ví dụ:

  • Lấy điểm A có hoành độ x­1, hoành độ y1 = x + b ⇒ A ( x­1 ; x­1+b )
  • Lấy điểm B có hoành độ x2, hoành độ y2 =  x2 + b ⇒ B (x2 ; x2 + b )

Sau đó, vẽ 1 đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là ta đã có được đồ thị hàm số.

Chú ý: Khi lấy các tọa độ để vẽ đồ thị, các em nên lấy tọa độ chẵn để dễ chọn điểm trên trục tọa độ.

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất đồng biến và nghịch biến

Định nghĩa hàm số bậc nhất đồng biến khi nào? Và nghịch biến khi nào? Thường rất dễ bị nhầm lẫn trong quá trình ghi nhớ của các bạn học sinh. Nhất là những bạn học sinh cuối cấp và có rất nhiều công thức để ghi nhớ. Vậy, hãy cùng chúng tôi ôn lại định nghĩa về sự biến thiên của dưới đây nha

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0) có tập xác định D = R, đồng biến trên R nếu a > 0 và nghịch biến trên R nếu a < 0.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập về sự biến thiên

Bài tập 1: Tìm k để các hàm số sau

a, y= 5x – (2-x)k đồng biến, nghịch biến.

b, y= (k2 – 4)x – 2 đồng biến.

c, y= (-k2 + k – 1)x – 7 nghịch biến.

d, y= (4 – 4k + k2)x + 2 đồng biến.

Hướng dẫn giải:

a, y= 5x – (2-x)k = 5x – 2k + k.x = (5+k)x – 2k

Vậy hàm số có hệ số a= 5+k. Khi đó:

  • Hàm số đồng biến a > 0 ⇔ 5 + k > 0 ⇔ k > -5

  • Hàm số nghịch biến a < 0 ⇔ 5 + k < 0 ⇔ k < -5.

Bài tập 2: Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì :

a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất

b, Hàm số đã cho đồng biến

c, Hàm số đã cho nghịch biến

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho có hệ số a= 3 – √(m+2).

a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ 3 – √(m+2) ≠ 0 ⇔ √(m+2) ≠ 3

⇔ m + 2 ≠ 9 ⇔ m ≠ 7

Vậy m ≠ 7

b, Hàm số đã cho đồng biến khi a > 0 ↔ 3 – √(m+2) > 0 ⇔ √(m+2) < 3

⇔ 0 ≤ m + 2 < 9 ⇔ -2 ≤ m < 7

Vậy -2 ≤ m < 7

c, Hàm số đã cho nghịch biến khi a < 0 3 – √(m+2) < 0 ⇔ √(m+2) > 3

⇔ m + 2 >; 9 ⇔ m > 7

Vậy m > 7

Các dạng bài tập đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng 

Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

Phương pháp:

Ta có hàm số bậc nhất 

– Đồng biến trên R nếu 

– Nghịch biến trên R nếu 

Bài tập luyện tập

Dưới đây là một số bài tập vận dụng về đồ thị hàm số bậc nhất, các em có thể tham khảo luyện tập.

Bài tập 1:

Vẽ đồ thị hàm số sau:

a/ y = 2x

b/ y = -3x+3

Bài giải:

Ta có:

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua điểm O(0; 0) và điểm A(1; 2)

Đồ thị của hàm số y = 2x có dạng:

Đồ thị của hàm số y = 2x

b/ y = -3x+3

  • Lấy x = 0 ⇒ y=3, ta được điểm A(0; 3) thuộc trục tung Oy
  • Lấy y = 0 ⇒ x=1, ta được điểm B(1; 0) thuộc trục hoành Ox

Khi đó, vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A, B ta đc đồ thị:

vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A, B ta đc đồ thị

Bài tập 2:

Cho các hàm số sau:

  1. y = 2mx + m + 1
  2. y = (m-1)x + 3

a/ Xác định m để hàm số (1)  đồng biến, hàm số (2) nghịch biến

b/ Xác định m để đồ thị hai hàm số song song

c/  Chứng minh: đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị m

Bài giải:

a/

  • Hàm số (1) y = 2mx + m + 1 đồng biến khi a > 0 tức là 2m > 0 ⇒ m > 0
  • Hàm số (2) y = (m-1)x + 3 nghịch biến khi a < 0 tức là m – 1 < 0 ⇔ m < 1

⇒ Để hàm số (1) đồng biến, hàm số (2) nghịch biến thì m phải thỏa mãn: 0 < m < 1

b/ Để đồ thị hai hàm số song song thì:

Như vậy, m = -1 thì đồ thị hàm số (1) song song đồ thị hàm số (2).

  Cách Tính Đạo Hàm Tanx Và Bài Tập Áp Dụng Đạo Hàm Tanx Có Lời Giải

c/ Viết lại hàm số (1) ta được: y = m(2x+1) + 1

Với mọi giá trị m, khi x = -½ thì y = 1, do đó hàm số luôn đi qua 1 điểm có tọa độ (-½; 1) với mọi m.

Bài tập 3:

Cho hàm số y = (m-3)x + m + 2 (3)

a/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3

b/ Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng d1: y = -2x + 1

c/ Tìm m để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d2: y = 2x – 5

Bài giải:

a/ Để đồ thị hàm số (3) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  -3 thì x = 0 và y = -3

Nên ta có: -3 = (m-3).0 + m + 2 ⇔ m = -5

Suy ra, khi m = -5 thì đồ thị hàm số (3) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3

b/

Gọi:

a’ là hệ số góc của d1

b’ là tung độ góc của d1

Để đồ thị hàm số y = (m-3)x + m + 2 song song với đường thẳng d1: y = -2x + 1 thì

hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất

Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số song song với đường thẳng d1

c/ Để đồ thị hàm số y = (m-3)x + m + 2 vuông góc với đường thẳng d2 thì:

Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất

Suy ra, khi m = 5/2 thì đồ thị hàm số (3) vuông góc với đường thẳng d2

Trên đây là những lý thuyết cơ bản về hàm số bậc nhất cùng một số bài tập vận dụng liên quan giúp các em nắm chắc hơn kiến thức của chủ đề này. Để giỏi toán, các em cần nắm vững kiến thức và làm thật nhiều bài tập, do vậy, đừng quên đăng ký học hè livestream cùng với Marathon Education để ôn luyện nhiều hơn, đạt được điểm số cao hơn trong học kỳ sắp tới.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể để lại bình luận
5/5 - (3 votes)

Leave a Reply