Lý Thuyết Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn và Các Dạng Bài Tập Phổ Biến

Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở và là nền tảng để các em học sinh học môn toán ở cấp 3 cũng như phục vụ luyện thi vào lớp chuyên hay luyện thi đại học sau này. Dưới đây là toàn bộ thông tin như lý thuyết và công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn.

Phương trình bậc 2 một ẩn – Lý thuyết.

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn x như sau: Ta gọi Δ=b2-4ac.

Những Món Đồ Cực Kỳ Cần Thiết Cho Mẹ và Bé Yêu Đang MIỄN PHÍ Vận Chuyển và Giảm Tới 50%

Khăn Che Bé Bú Đa Năng

Mua Ngay

Yếm Ăn Dặm Chống Thấm

Mua Ngay

Đai Đi Xe Máy Cho Bé

Mua Ngay

Dép Tập Đi Chống Ngã

Mua Ngay

Khi đó:

  • Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn
  • Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
  • Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

  • Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn với 2 nghiệm phân biệt
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn với 2 nghiệm phân biệt
  • Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
  • Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Định lý Viet
Định lý Viet

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

  • x1+x2=-b/a
  • x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
  • nghiệm của Định lý Viet

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo

Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

  • Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0),
    • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/a
    • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
  • Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
  • Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

  • Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
  • Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
    • P>0, hai nghiệm cùng dương.
    • P<0, hai nghiệm cùng âm.

Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

  1. x2-3x+2=0
  2. x2+x-6=0

Hướng dẫn:

  1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

  1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

 

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử.

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

  • Nếu -c/a>0, nghiệm là:

  • Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
  • Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

  1. x2-4=0
  2. x2-3x=0

Hướng dẫn:

  1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
  2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

  • Đặt t=x2 (t≥0).
  • Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
  • Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

  • Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
  • Quy đồng khử mẫu.
  • Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

  1. 4x4-3x2-1=0

Hướng dẫn:

  1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

  • t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
  • t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

  1. Ta có:

phuong-trinh-bac-2-mot-an-01

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

  • Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
    • Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
    • Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
  • Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

phuong-trinh-bac-2-mot-an-02

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

  • Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
  • Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn 

Bài 1: Giải các phương trình bậc hai sau:

TT

PTBH

TT

PTBH

1

x2 – 11x + 30 = 0

41

x2 – 16x + 84 = 0

2

x2 – 10x + 21 = 0

42

x2 + 2x – 8 = 0

3

x2 – 12x + 27 = 0

43

5x2 + 8x + 4 = 0

4

5x2 – 17x + 12 = 0

44

x2 – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0

5

3x2 – 19x – 22 = 0

45

11x2 + 13x – 24 = 0

6

x2 – (1+√2)x + √2 = 0

46

x2 – 11x + 30 = 0

7

x2 – 14x + 33 = 0

47

x2 – 13x + 42 = 0

8

6x2 – 13x – 48 = 0

48

11x2 – 13x – 24 = 0

9

3x2 + 5x + 61 = 0

49

x2 – 13x + 40 = 0

10

x2 – √3x – 2 – √6 = 0

50

3x2 + 5x – 1 = 0

11

x2 – 24x + 70 = 0

51

5x2 + 7x – 1 = 0

12

x2 – 6x – 16 = 0

52

3x2 – 2√3x – 3 = 0

13

2x2 + 3x + 1 = 0

53

x2 – 2√2x + 1 = 0

14

x2 – 5x + 6 = 0

54

x2 – 2(√3-1)x – 2√3 = 0

15

3x2 + 2x + 5 = 0

55

11x2 + 13x + 24 = 0

16

2x2 + 5x – 3 = 0

56

x2 + 13x + 42 = 0

17

x2 – 7x – 2 = 0

57

11x2 – 13x – 24 = 0

18

3x2 – 2√3x – 2 = 0

58

2x2 – 3x – 5 = 0

19

-x2 – 7x – 13 = 0

59

x2 – 4x + 4 = 0

20

√2x2 – 2(√3-1)x -3√2 = 0

60

x2 – 7x + 10 = 0

21

3x2 – 2x – 1 = 0

61

4x2 + 11x – 3 = 0

22

x2 – 8x + 15 = 0

62

3x2 + 8x – 3 = 0

23

2x2 + 6x + 5 = 0

63

x2 + x + 1 = 0

24

5x2 + 2x – 3 = 0

64

x2 + 16x + 39 = 0

25

x2 + 13x + 42 = 0

65

3x2 – 8x + 4 = 0

26

x2 – 10x + 2 = 0

66

4x2 + 21x – 18 = 0

27

x2 – 7x + 10 = 0

67

4x2 + 20x + 25 = 0

28

5x2 + 2x – 7 = 0

68

2x2 – 7x + 7 = 0

29

4x2 – 5x + 7 = 0

69

-5x2 + 3x – 1 = 0

30

x2 – 4x + 21 = 0

70

x2 – 2√3x – 6 = 0

31

5x2 + 2x -3 = 0

71

x2 – 9x + 18 = 0

32

4x2 + 28x + 49 = 0

72

3x2 + 5x + 4 = 0

33

x2 – 6x + 48 = 0

73

x2 + 5 = 0

34

3x2 – 4x + 2 = 0

74

x2 – 4 = 0

35

x2 – 16x + 84 = 0

75

x2 – 2x = 0

36

x2 + 2x – 8 = 0

76

x4 – 13x2 + 36 = 0

37

5x2 + 8x + 4 = 0

77

9x4 + 6x2 + 1 = 0

38

x2 – 2(√3 + √2)x + 4√6 = 0

78

2x4 + 5x2 + 2 = 0

39

x2 – 6x + 8 = 0

79

2x4 – 7x2 – 4 = 0

40

3x2 – 4x + 2 = 0

80

x4 – 5x2 + 4 = 0

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai?

A. x2 + 4x – 7 = x2 + 8x – 10

B. x3 + 8x = 0

C. x2 – 4 = 0

D. 5x – 1 = 0

Lời giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 .Trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0 .

+ x2 + 4x – 7 = x2 + 8x – 10 ⇔ 4x – 3 = 0 . Loại vì đây là phương trình bậc nhất

+ x3 + 8x = 0 vì mũ cao nhất của x là 3 nên không là phương trình bậc hai.

+ x2 – 4 = 0 là phương trình bậc hai thỏa mãn

+ 5x – 1 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn

Chọn đáp án C.

Câu 3: Số nghiệm của phương trình x2 = 20x – 102 là?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. Vô số nghiệm

D. Vô nghiệm

Lời giải:

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Vậy phương tình đã cho có 1 nghiệm

Chọn đáp án A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

A. x > -4

B. x < -4

C. x ≤ -4

D. x = -4

Lời giải:

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Suy ra x = -4

Chọn đáp án D.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình x2 + 10x + 26 < 1

A. x ≥ -5

B. x ≤ -5

C. x = -5

D. Vô nghiệm

Lời giải:

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Bất phương trình vô nghiệm vì

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho phương trình 2x2 – 10x + 100 = -2x + 10. Sau khi đưa phương trình trên về dạng ax2 + bx + c = 0 thì hệ số b là?

A. -8 B . -12

C. 12

D. 8

Lời giải:

Ta có:

2x2 – 10x + 100 = -2x + 10

⇔ 2x2 – 10x +100 + 2x -10 =0

⇔ 2x2 – 8x + 90 = 0

Đây là phương trình bậc hai một ẩn có a = 2; b = – 8 và c = 90 .

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho phương trình 2x3 + 2x2 – 3x + 10 = 2x3 + x2 – 10. Sau khi biến đổi đưa phương trình trên về dạng ax2 + bx+ c =0 thì hệ số a bằng ?

A. 2

B.1

C. 3

D. -1

Lời giải:

Ta có : 2x3 + 2x2 – 3x + 10 = 2x3 + x2 – 10

⇔ 2x3 + 2x2 – 3x + 10 – 2x3 – x2 + 10= 0

⇔ x2 – 3x + 20 = 0

Phương trình trên là phương trình bậc hai một ẩn với a = 1; b = -3 và c = 20.

Chọn đáp án B.

Câu 8: Giải phương trình sau: 2x2 – 5x + 3 = 0

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 9: Giải phương trình -10x2 + 40 = 0

A. Vô nghiệm

B. x = 2

C. x = 4 D . x = ±2

Lời giải:

Ta có: -10x2 + 40 = 0

⇔ -10x2 = – 40 ⇔ x 2 = 4

⇔ x = ±2

Chọn đáp án C.

Câu 10: Giải phương trình x2 – 10x + 8 = 0

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án A.

Trên đây là tổng hợp của nuoicondung.com về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2.

5/5 - (6 votes)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *