Ước và bội là một trong những chuyên đề toán rất hay cho học sinh lớp 6. Dưới đây là những kiến thức về ước và bội lớp 6 quan trọng nhất trong chương trình toán lớp 6 cũng như các bài tập tham khảo.
Các Nội Dung Chính
1. Ước và bội của số nguyên
Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
Tập hợp các bội của a được kí hiệu bởi B(a).
Tập hợp các ước của a được kí hiệu bởi Ư(a).
Ví dụ: 21 chia hết cho 7 nên 21 là bội của 7 và 7 là ước của 21
2. Cách tìm ước và bội của một số nguyên
Cách tìm ước của một số nguyên
Muốn tìm ước của một số tự nhiên a (a > 1), ta chia số a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a có thể chia hết cho số nào; khi đó các số ấy là ước của a.
Cách tìm bội của một số nguyên
Muốn tìm bội của một số tự nhiên khác 0, ta nhân số đó với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3,..
3. Lý thuyết ước chung và bội chung
3.1. Ước chung là gì?
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).
Vậy ta có:
x ∈ ƯC(a, b) nếu a x và b x
x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a x, b x và c x
Ví dụ:
Ta có: Ư(4) = {1; 2; 4} và Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Nên ƯC(4, 12) = {1; 2; 4}.
3.2. Bội chung là gì?
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC(a, b, c).
Vậy ta có:
x ∈ BC(a, b) nếu x a và x b
x ∈ BC(a, b, c) nếu x a, x b và x c
Ví dụ:
Ví dụ:
Ta có: B(3) = {0; 3; 6; 9; 12;…} và B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12;…}
Nên BC(2,3) = {0; 6; 12;…}
3.3. Định nghĩa phép toán giao
Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B kí hiệu là A ∩ B
Có thể hiểu:
U(a) ∩ U(b) = UC(a,b)
B(a) ∩ B(b) = BC(a,b)
4. Ước chung lớn nhất là gì?
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung. Để được chọn làm ước chung lớn nhất của hai số thì số đó phải là số lớn nhất trong tập hợp ước chung.
Ước chính là số chia của một số. Lấy một số chia cho ước thì sẽ được phép tính chia hết, không dư. Khi mà cả hai số đều có một tập hợp số chia chung thì gọi là tập hợp ước chung. Số lớn nhất trong tập hợp ước chung đó chính là ước chung lớn nhất.
Tập hợp các ước của một số được tìm bằng cách dựa vào các nhân tử tạo thành số đó. Ta phân tích một số thành các nhân tử, sau đó chọn nhân tử chung tạo thành tích và tìm ra ước chung của hai số.
Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số giúp ích rất nhiều trong việc giải các dạng bài tập. Có thể kể đến các dạng phân số, dạng lũy thừa, dạng số nguyên, phân số cần được rút gọn, …
4.1 Phương pháp tìm ước chung lớn nhất
Nếu trong các số đã cho có 1 số bằng 1 thì ước chung lớn nhất của các số đó bằng 1.
Nếu các số đã cho mà không có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của số đó là 1.
Ví dụ: Ước chung lớn nhất của 7, 5 và 9 là 1.
Nếu số nhỏ nhất trong các số đã cho là ước của các số còn lại thì ước chung lớn nhất của các số đó chính là số nhỏ nhất ấy.
Ví dụ: Ước chung lớn nhất của 2, 4, 6 là 2.
Nếu không rơi vào ba trường hợp trên, khi đó ta sẽ chọn lựa 1 trong 2 cách sau để tìm ước chung lớn nhất
Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số, sau đó chọn ra ước số chung lớn nhất
Cách 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố. Và đây là cách khoa học và dễ hiểu nhất. Cách tìm ước số chung lớn nhất này cụ thể theo các bước như sau:
1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm ước chung lớn nhất của (12, 30)
Ta có: 12 = 2^2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Ta có các thừa sừa số nguyên tố chung là 2 và 3
=> Ước chung lớn nhất (UCLN) (12, 30) = 2 x 3 = 6
5. Lý thuyết Bội chung nhỏ nhất
* Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Bội chung nhỏ nhất của các số a, b, c được kí hiệu là BCNN (a, b, c)
* Cách tìm BCNN: Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số ta thực hiện ba bước sau:
+ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
+ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
+ Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ cao nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
* Lưu ý:
+ Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có: BCNN(a, b, a) = BCNN(a, b)
+ Nếu các số đã cho nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
+ Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của chúng là số lớn nhất ấy.
* Cách tìm bội chung nhờ BCNN: Đề tìm các bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
6. Các dạng toán lớp 6 ước và bội
Dạng 1: Tìm và viết tập hợp các ước, tập hợp các bội của một số cho trước
Phương pháp:
– Để tìm ước của một số, ta chia số đó lần lượt cho 1, 2, 3…
– Để tìm bội của một số khác 0, ta nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, 3…
Ví dụ: Ư(18)={18;9;6;3;2;1}
B(5)={0;5;10;15;…}
Dạng 2: Viết tất cả các số là bội hoặc ước của một số cho trước và thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Tìm trong các số thỏa mãn điều kiện cho trước những số là bội hoặc ước của số đã cho.
Ví dụ: Tìm các ước lớn hơn 5 của 20.
Ta có: Ư(20)={20;10;5;4;2;1}
Suy ra các ước lớn hơn 5 của 20 là 20 và 10.
