Véc Tơ Là Gì? Những Kiến Thức Quan Trọng Nhất Và Bài Tập Có Lời Giải

Véc tơ là kiến thức cơ bản và đặc biệt quan trọng mà các em sẽ được học trong chương trình Toán học lớp 10. Nắm chắc lý thuyết là điều kiện cần thiết để giúp các em giải nhanh các bài tập véc tơ. Vì thế, trong bài viết này chúng tôi sẽ giới thiệu các lý thuyết như véc tơ là gì? Tính chất của véc tơ cũng như các dạng bài tập cơ bản để giúp các em biết cách vận dụng hiệu quả.

Véc tơ là gì?

Định nghĩa véc tơ: Một đoạn thẳng có hướng, biểu diễn điểm đầu và điểm cuối được gọi là véc tơ.

Chẳng hạn, 2 điểm A và B phân biệt sẽ tạo thành đoạn thẳng AB hoặc BA. Để biểu diễn chiều dài của 2 điểm, toán học đã đưa ra khái niệm véc tơ. Ví dụ:

• Nếu theo chiều đi từ A đến B sẽ có vectơ AB với A là điểm đầu và B là điểm cuối.
• Nếu theo chiều đi từ B đến A sẽ có véc tơ BA với B là điểm đầu và A là điểm cuối.

Hai vectơ cùng phương

Giá của vectơ được hiểu là đường thẳng có chứa vectơ.

Xét vectơ AB: Đường thẳng nối 2 điểm A và B là giá của vectơ AB. Như vậy, hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng với nhau.

Ví dụ:

Cho 2 đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Đường thẳng d₁ chứa các điểm A, B, C và đường thẳng d2 chứa các điểm D, E, F. Các em hãy xét các vectơ AB và BC, ED và EF.

• Vectơ AB và BC có giá d₁ trùng nhau nên hai vectơ này cùng phương.
• Vectơ ED và EF có giá d₂ trùng nhau nên hai vectơ này cùng phương với nhau.

Vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau

• Vectơ cùng hướng là 2 vectơ cùng phương với nhau đồng thời có chiều giống nhau. Như vậy, hai vectơ cùng phương cũng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Kiến thức vectơ cùng hướng được vận dụng trong bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Ví dụ, với 3 điểm A, B, C phân biệt, nếu muốn chứng minh 3 điểm này thẳng hàng với nhau thì các em cần xét vectơ AB và AC hoặc vectơ AB và BC cùng phương với nhau.

• Vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng với nhau và có cùng độ dài.

 Vectơ – không

Với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA−và gọi là vectơ – không.

Vectơ AA→ nằm trên mọi đường thẳng đi qua A, vì vậy ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Ta cũng quy ước rằng AA−→=0 Do đó có thể coi mọi vectơ – không đều bằng nhau.

 Ta kí hiệu vectơ – không là 0→0→. Như vậy 0→=AA−→=BB→=...0→=AA→=BB→=… với mọi điểm A, B…

Độ dài của một vectơ

Độ dài của một vectơ chính là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Ta có vectơ AB với điểm đầu và A và điểm cuối là B thì độ dài của vectơ AB chính là độ dài của đoạn thẳng AB.

Lưu ý:

• Độ dài của một véc tơ là một số không âm.
• Véc tơ có độ dài = 1 được gọi là véc tơ đơn vị.

Tổng hợp bài tập véc tơ SGK

Bài tập 1: 

Cho 3 véc tơ a, b, c khác véc tơ 0 thì khẳng định nào đúng?

A: Nếu 2 véc tơ a và b cùng phương với véc tơ c thì véc tơ a và b cùng phương.

B: Nếu 2 véc tơ a và b cùng ngược hướng với véc tơ c thì véc tơ a và b cùng hướng.

Hướng dẫn giải:

Gọi d₁, d₂, d₃ lần lượt là giá của các véc tơ a, b, c.

Véc tơ a cùng phương với véc tơ c, ta có d₁//d₃ hoặc d₁ trùng d₃

Véc tơ b cùng phương với véc tơ c, ta có d₂//d₃ hoặc d₂ trùng d₃

Từ đó ta có: d₁//d₂ hoặc d₁ trùng d₂ dựa trên định nghĩa hai véc tơ a, b cùng phương.

Kết luận: khẳng định A đúng.

Véc tơ a và b cùng ngược hướng với véc tơ c nên véc tơ a và b đều cùng phương với véc tơ c. Vì thế véc tơ a và b cùng phương.

Kết luận: khẳng định B đúng.

Bài tập 2: 

Cho tứ giác ABCD, chứng minh tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi:

Hướng dẫn giải:

Bài tập 3: 

Hình lục giác đều ABCDEF có tâm O. Các em hãy:

a, Chỉ ra các véc tơ khác véc tơ 0 và cùng phương với véc tơ OA.

b, Chỉ ra véc tơ bằng véc tơ AB.

Hướng dẫn giải:

a, Nhìn vào hình các em sẽ thấy: các véc tơ khác véc tơ và cùng phương với véc tơ OA là các véc tơ sau: CB, BC, EF, FE, OD, DO, AD, DA.

b, Các véc tơ bằng véc tơ AB là các véc tơ sau: FO, OC, ED

Bài tập về Véc Tơ

Chứng minh 2 vecto cùng phương, 2 vecto cùng hướng

Phương pháp giải

Định nghĩa:

– Giá của vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó – Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. – Hai vecto cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. – Quy ước: Vecto – không (ký hiệu ) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

Ba vecto  được gọi là cùng phương với nhau Vecto  cùng hướng với , vecto  ngược hướng với vecto

Phương pháp giải:

 Để chứng minh hai vecto cùng phương, ta chứng minh giá của hai vecto đó song song hoặc trùng nhau. ( quan hệ từ vuông góc đến song song, cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba, định lí Talet, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, các góc vị trí so le trong – đồng vị bằng nhau ….)

 Để chứng minh hai vecto cùng hướng, ta chứng minh hai vecto đó cùng phương và xét hướng của hai vecto đó.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vecto khác không, cùng phương với vecto  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Hướng dẫn giải:

Do ABCDEF là lục giác đều tâm O Suy ra BE // CD // AF Do đó OB // CD // AF Do đó các vecto cùng phương với vecto  mà có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lục giác là các vecto: Vậy có 6 vecto. Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hai vecto không cùng phương , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ .

B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ .

C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ , đó là vectơ .

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải:

+ Theo quy ước, vecto  cùng phương, cùng hướng với mọi vecto (lý thuyết), do đó đáp án C đúng, từ đó suy ra đáp án A và D là đáp án sai.

+ Đáp án B: có vô số vecto cùng phương với cả hai vecto  là sai

Thật vậy, giả sử có 1 vecto  cùng phương với cả hai vecto 

Gọi giá của vecto  là đường thẳng m, giá của vecto  là đường thẳng a, và giá của vecto  là đường thẳng b.

Khi đó  mâu thuẫn với giả thiết hai vecto  không cùng phương.

Đáp án C

Bài tập về Quy tắc hình bình hành của vecto

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc hình bình hành và các tính chất của hình hình hành đã học ở lớp 8 để giải bài tập.

Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có Quy tắc này cũng đúng nếu ta xuất từ các đỉnh khác của hình bình hành.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tính các vecto sau

Hướng dẫn giải:

a,  theo quy tắc hình bình hành

b, Vì AB // CD nên ta có 

Do đó: 

c, 

= (sử dụng tính chất giao hoán)

=  (quy tắc ba điểm)

d,

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm của AC

Suy ra AO = OC 

Ta có: (tính chất giao hoán)

 = (quy tắc ba điểm)

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4a và AD = 3a. Tính độ dài 

Hướng dẫn giải:

ABCD là hình chữ nhật, suy ra ABCD cũng là hình bình hành, nên ta áp dụng quy tắc hình bình hành ta được: 

Suy ra  = AC

Ta lại có: AC = 

Vậy  = 5a.

Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương

Phương pháp giải

Sử dụng định lý về phân tích vecto:

Phân tích vecto: Cho hai vecto không cùng phương , . Khi đó mọi  đều được phân tích duy nhất: 

 Sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm,công thức trung điểm, trọng tâm…

 Nếu hai vecto ;  cùng hướng và 

 Nếu hai vecto ;  ngược hướng và 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vecto  theo hai vecto .

Hướng dẫn giải:

Vì M là trung điểm của AC nên 

Vì K là trung điểm của BC nên 

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho AM =  AB, CN =  CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích  theo hai vecto .

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm nằm trên tia đối của BC sao cho 5JB = 2JC. Phân tích vecto  theo 

Hướng dẫn giải:

Trên đây là những kiến thức quan trọng nhất về phần Véc tơ như Véc tơ là gì? Tính chất và ý nghĩa của Véc tơ cùng với bài tập tham khảo. Chúng tôi hi vọng nội dung trên sẽ hữu ích với các em học sinh.