Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ – Lý Thuyết và 3 Dạng Bài Tập Quan Trọng

Để học toán hiệu quả, các em cần hiểu được lý thuyết thì mới có thể giải được bài tập nhanh chóng và có kết quả đúng. Đối với tích vô hướng của hai vectơ, các em hãy ôn luyện và áp dụng vào việc giải toán thông qua các công thức được chúng tôi cung cấp trong bài viết sau. 

Định nghĩa

Cho 2 vectơ  và  đều khác vectơ . Tích vô hướng của  và  có kí hiệu là ,và được xác định bởi công thức sau đây:

Chú ý: 

• Trong trường hợp có ít nhất 1 trong 2 vectơ  và  bằng vectơ  ta có: 
• Khi  và  khác vectơ  ta có: 
• Khi  =  sẽ có tích vô hướng là  và được kí hiệu là . Số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ . Ta có: 

Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ có các tính chất sau đây:

Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ: Khi đó tích vô hướng của .là: 

Nhận xét: Hai vectơđều khác vectơ  vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a₁b₁ + a₂b₂ = 0.

Ứng dụng tích vô hướng

Độ dài vectơ

Các em có thể tính độ dài của vectơ  = (a₁, a₂) theo công thức như sau:

Góc giữa 2 vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, chúng ta suy ra được nếu  = (a₁, a₂) và  = (b₁, b₂) đều khác  thì ta có:

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) được tính theo công thức sau:

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Nếu  thì hai vectơ  vuông góc với nhau, kí hiệu .

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ

Cho .

Khi đó:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ  vuông góc với nhau và . Chứng minh hai vectơ  vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có . Chứng minh hai vectơ  vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kỳ thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để BD ⊥ AM.

Hướng dẫn giải:

Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước (45 độ, góc nhọn, góc tù)

Phương pháp giải

Các bước làm bài

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ  = (3;m) và  = (1;7). Xác định m để góc giữa hai vectơ  và  là 45°.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ  = (-1;1) và  = (m;⁡2). Tìm m để góc giữa hai vectơ  và  là 135°.

Hướng dẫn giải:

Vậy không tồn tại m để góc giữa hai vectơ  và  là 135°.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ  = (4;1) và vectơ  = (1;4). Tìm m để vectơ =m. +  tạo với vectơ  một góc 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi m_a; m_b; m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là m_a; m_b; m_c.

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BE = m_b, CD = m_c

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Vậy b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến . Độ dài AC là:

Hướng dẫn giải:

BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Đáp án B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có lời giải hay khác: