Logarit Là Gì? Các Công Thức Logarit Quan Trọng Nhất

Logarit là lý thuyết quan trọng của chương trình Toán 12 vì dạng toán này xuất hiện khá nhiều trong các đề thi đại học. Vậy logarit là gì? Những tính chất và công thức nào trong tâm nào của logarit cần nắm? Trong bài viết hôm nay chúng tôi sẽ chia sẻ đến các em những lý thuyết trên.

Logarit là gì?

Logarit (viết tắt là Log) là phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (có giá trị cố định), phải được nâng lũy thừa để tạo thành số a đó.

Hiểu một cách đơn giản hơn, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại, ví dụ log_ax = y sẽ tương đương với a^y = x. Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3, ta có, 10³ = 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = 10³ hay log₁₀1000 = 3.

Tóm lại, lũy thừa của các số dương với số mũ bất kỳ luôn có kết quả là một số dương. Do đó, logarit dùng để tính toán phép nhân của 2 số dương bất kỳ luôn đi kèm điều kiện có 1 số dương ≠ 1.

Ta có thể tóm tắt ngắn gọn như sau:

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Nghiệm duy nhất của phương trình aⁿ = b được gọi là log_ab (số n có tính chất là aⁿ = b).

Như vậy log_ab = n ⇔ aⁿ = b.

Ví dụ: log₄16 = 2 vì 4² = 16.

Ngoài ra còn có Logarit tự nhiên (còn gọi là Logarit Nêpe) là Logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là lnx hay log_ex. Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e sao cho số e lũy thừa lên bằng x, nghĩa là lnx = a ⇔ e^a=x. Số e có giá trị xấp xỉ bằng 2,71828.

Các tính chất của Logarit 

Logarit có các tính chất như sau:

Hệ quả:

a) Nếu a > 1; b > 0 thì log_ab > 0 ⇔ b > 1; log_ab < 0 ⇔ 0 < b < 1.

b) Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì log_ab < 0 ⇔ b > 1; log_ab > 0 ⇔ 0 < b < 1.

c) Nếu 0 < a ≠ 1; b, c > 0 thì log_ab = log_ac ⇔ b = c.

Logarit thập phân log₁₀b = logb (= lgb) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.

Bảng công thức tính logarit cơ bản

Sau đây, chúng tôi sẽ chia sẻ đến các em bảng công thức tính logarit cơ bản:

Bài tập tính logarit 

Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• log_a x = b ⇔ x = a^b (0 < a ≠ 1).

• log_a f(x) = log_a g(x) 

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình: log₂ x + log₃ x + log₄ x = log₂₀ x.

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}.

Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

 Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình lôgarit cơ bản

• log_a x = b ⇔ x = a^b (0 < a ≠ 1).

• log_a f(x) = log_a g(x) 

2. Cơ sở của phương pháp mũ hoá

log^a f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ f(x) = a^g(x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₂ (x+3)=1.

Hướng dẫn:

log₂ (x+3) = 1 ⇔ x+3 = 2 ⇔ x = -1

Bài 2: Giải phương trình log(25^x – 2^2x+1) = x.

Hướng dẫn:

log(25^x-2^2x+1 )=x ⇔ 25^x-2^2x+1=10^x ⇔ 25^x-2.4^x=10^x

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là 

Bài 3: Giải phương trình log₂ (9-2^x )=3-x.

Hướng dẫn:

log₂ (9-2^x ) = 3-x ⇔ log₂ (9-2^x ) = log₂ 2^3-x ⇔ 9-2^x=2^3-x ⇔ 9-2^x=8/2^x ⇔ 2^2x-9.2^x+8=0

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;3}.

Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình lôgarit cơ bản

• log_ax = b ⇔ x = a^b (0 < a ≠ 1).

• log_af(x)=log_ag(x) 

2. Các bước giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f[log_ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1).

• Bước 1: Đặt t = log_ag(x) (*).

• Bước 2: Tìm điều kiện củat (nếu có).

• Bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

•Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

3. Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi

1) log_af²(x) = 2log_a|f(x)|

2) log_af^2k(x) = 2klog_a|f(x)|

3) log_af^2k+1(x) = (2k+1)log_af(x)

4) log_a(f(x)g(x)) = log_a|f(x)| + log_a|g(x)|

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log²₃ x – 4log₃x + 3 = 0.

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Đặt log₃x = t. Khi đó phương trình đã cho trở thành

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3;27}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {10; 100}.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3^√3; 3^-√3 }.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác: